如何在數學中促進富有成效的討論

有一天，我八年級的數學班的學生成對工作。兩個男孩Nainoa和Keoki打電話給我，以解決他們對不同答案的爭執。回顧他們的工作后，我確認Nainoa是正確的。納伊諾阿大喊：“哈，這么告訴你！” Keoki低下頭，低聲說：“隨便。” 我責罵Nainoa，但為時已晚，損壞已經造成，Keoki在整個課余時間都關閉了。


那天晚些時候，我對事件進行了反思。Nainoa的話語缺乏謙卑和有害影響，猶豫不決。Keoki因一次不正確的反應而感到羞恥，現在承擔數學風險的可能性較小。使用最多認知能量的人？我，老師，因為我是負責確定哪個學生正確的人。

數學中的生產性討論的價值
撇開那個差的結果，兩個學生討論不同答案的情況正是我們在數學教室中想要的。數學實踐3的通用核心標準是：“構建可行的論點并批評其他人的推理。” 這樣的討論為挑戰像Nainoa這樣的學生提供了絕佳的機會，使他們的理解范圍超出了獲得正確答案或完成任務的范圍。

對于擁有正確答案的學生而言，沒有什么比解釋其他人為什么其推理不正確更具挑戰性了，因為替代方法，尤其是那些產生錯誤答案的方法，對于具有正確答案的學生來說很難理解。

當我們能夠理解這樣的替代理解，觀點，過程或方法時，會發生什么？我們變得更加聰明，對內容有了更全面的概念理解。此外，我們利用和發展了21世紀必不可少的溝通技巧，更適合在我們日趨多元化的社會中蓬勃發展。

那么在Nainoa和Keoki的場景中出了什么問題？我沒有建立有效的例程來優化它們之間的交互。為了使學術討論例程有效地工作，我發現我需要以下三個要素：

異類的學生分組，以確保有更多的機會圍繞不同的理解進行討論，
學生了解異類分組對他們的發展的價值，激發他們進行富有成效的討論，以及
討論協議，可確保所有學生在這些討論中得到支持。
我很幸運讓Nainoa和Keoki得出了不同的答案，但是為了確保定期進行富有成效的討論，我需要有意地開始使用異構分組。為了幫助學生了解異類分組中協作的價值，我提出了以下“理解層”，我將其張貼在海報上供學生參考：

方法1：執行-完成任務。

方法2：說明用于完成任務的過程。

方法3：善解人意地解釋另一位學生用來完成任務的思維過程。

做任務是最低的理解水平—解釋更高，而最高水平則是善解人意的解釋。通過異類分組，表現出色的學生得到了表現較高的學生的支持，他們尋求同理心的解釋機會。這通過包容性來創造差異化，包容性是學習者混合工作時的個性化價值。

如果我知道教Nainoa和Keoki善解人意的解釋的價值，他們將把他們的不同答案視為學習的機會。

教導學生善解人意的解釋
我現在教學生一個三部分的協議，用于在他們一起工作時討論不同的答案。

1.傾聽對方。

2.嘗試看看它們如何正確-也許你們都是正確的。數學不是固定的，因為有許多途徑可以得出一個解決方案，并且解決方案可以以許多等效形式出現。

3.如果您認為另一個人是不正確的，請解釋您的正確性和/或他們的不正確性。正確回答的人有責任糾正誤解。

協議中最有價值的部分是最后一部分-正確答案的學生有責任幫助他們的伴侶糾正誤會。他給出錯誤的答案并不是Keoki的錯，而且由于Nainoa提供了正確的答案，他本可以嘗試通過富有同情心的解釋來幫助Keoki。即使在答案不正確的學生最初認為自己是正確的情況下（例如Keoki），上述三個步驟也可以使他們認識到哪里出了問題。

諸如“您在考慮...因為...”或“我可以看到您如何嘗試...”之類的句子是出色的支架，可以幫助學生開始擬定移情反應。

從教學的第二年開始至今已有六年，我開始有目的地對學生進行異類分組，并生成了3層理解層和移情解釋規程，以指導學生進行協作。這些步驟通過要求學生完成更多的數學概念認知工作，從而幫助我創建了一個更具吸引力，以學生為中心的教室。

經過一段時間的使用，我發現我的學生傾向于相互合作。他們認識到善解人意的話語對兩個學生在異類分組中的價值。最重要的是，這創造了一種以“我們在一起”為基礎的以夏威夷kākou為基礎的課堂文化。教室文化應該是這樣的。