三角函數正切正弦余弦關系規律（三角函數正切正弦余弦）

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。三角函數正切正弦余弦關系規律，三角函數正切正弦余弦很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、三角函數中,以公式多而著稱.解題方法也較靈活,但并不是無法可尋,當然有它的規 律性,近幾年的高考中總能體現出其規律性.而對三角函數的考查解法,歸納起來主要有以 下六種方法: 一.平方法 觀察問題的條件和所求結論, 是同角三角函數正余弦代數和形式或正余弦積的形式, 可 考慮將代數和取平方.這樣能有機地將和差與乘積結合起來,從而順利求解. 例:已知 θ ∈(0,2π ) 且 sin θ , cos θ 是方程 x kx + k + 1 = 0 的兩根,求 k 的值.

2、2

3、解析:由韋達定理得:

4、sin θ + cos θ = k (1) sin θ cos θ = k + 1 (2)

5、(1) 2 (2) × 2 得: 1 = k 2 2k 2 ,∴ k = 3 或 k = 1

6、又原二次方程滿足 ≥ 0,∴ k ≥ 2 + 2 2 或 k ≤ 2 2 2

7、∴ 舍去 k = 3 得 k = 1

8、注:解決數學問題應掌握一些基本的技能,如"取平方""取對數""取倒數"等技巧, , , 以提高解題能力. 二.降冪法 涉及高次三角函數化簡問題,常通過平方關系,倍角關系降冪得到解答. 例:已知 sin θ + cos θ=

9、4 4

10、A.

11、解析:∵ sin θ + cos θ

12、2 2

13、(

14、7 9

15、B.

16、7 9

17、)

18、5 ,則 cos 4θ = 9 1 C. 9 2 sin 2 θ cos 2 θ =

19、( D.

20、)

21、1 9

22、2

23、5 4 2 2 ,∴ 2 sin θ cos θ =9 9

24、∴

25、sin 2 2θ 4 1 cos 4θ 8 7 =,∴ = ,∴ cos 4θ = ,選 A. 2 9 2 9 9

26、注:本題降冪是一個重要環節,有很多涉及三角函數的化簡,求值,性質等題目,入門 的關鍵是恰當運用平方關系,如 sin α + cos α = 1 和倍角公式如 2 sin α cos α =sin 2α ,

27、2 2

28、sin 2 α =

29、1 cos 2α 1 + cos 2α 2 , cos α = 等. 2 2

30、三.湊角法 還有一些求值問題, 通過觀察角之間的關系, 恰當構造角使之與特殊角和其它角聯系起 來,能找出解答途徑. 例:已知

31、π

32、3 π π 3 3 5 < α < π , 0 < β< 且 cos α = , cos π + β =,求 4 4 4 4 5 4 13

33、1

34、sin (α + β ) 的值.

35、解析:由

36、π

37、3 π π 4 π < α < π 得 < α < 0 ,從而 sin α = 4 4 2 4 5 4

38、由0 < β <

39、π

40、4

41、得

42、3 3 12 3 π < π + β < π ,從而 cos π + β = 4 4 13 4

43、3 π π ∴ sin (α + β ) = cos+ (α + β ) = cos π + β α 2 4 4 3 π 3 π = cos π + β cos α + sin π + β sin α 4 44 4 12 3 5 4 = × × 13 5 13 5 = 56 65

44、注:三角函數的求值其重要的一環是掃除角的差異,函數名稱的差異,式子結構的差 異.而湊角法是掃除這三個差異的重要方法. 四.換元法 解三角函數中的復合函數問題時,抓住特點巧妙換元可將復雜問題簡單化. 例:已知函數 y = 2 + 2 sin x cos x+ sin x + cos x, x ∈ 0, 小值. 解析:令 sin x + cos x= t ,則可得 t ∈ [1, 2 ] 由 (sin x + cos x) 2 = t 2 ,得 2 sin x cos x = t 1

45、2

46、π ,求函數的最大值和最 2

47、∴ 原函數為 y = t 2 + t+ 1, t ∈ [1, 2 ] ,又 y = t 2 + t + 1 在 [1, 2 ] 上單增.

48、∴ y max = f ( 2 ) = 3 + 2, y min = f (1) = 3

49、注: 進幾年高考熱衷于復合三角函數問題, 通過換元將三角函數式變形轉化為其它常見 的非三角函數問題,如轉化為二次函數問題,這樣會得到意想不到的效果. 五.討論法 當涉及正負取舍或含參等的三角函數問題,往往要討論作取舍. 例:已知 ABC 中, sin A =

50、5 4 , cos B = ,求 cos C 的值. 13 5 5 12 得 cos A =+ . 解析:由 sin A = 13 13

51、2

52、當 cos A =

53、12 時,∵ 0 < A + B < π 0 < A < π B < π , ∴ 13

54、據余弦函數的單調性得: cos A > cos(π B ) = cos B . 但 cos A =

55、12 4 12 < = cos B ∴ cos A ≠ . 13 5 13 12 33 當 cos A = 時,符合題意,故 cos C = cos( A + B ) = . 13 65

56、注:討論法是將問題化整為零,化難為簡的重要方法,一般在用平方關系涉及象限角問 題或含有絕對值的三角函數問題等,都得加以討論. 六.圖象法 在解決三角函數問題時,有時要借助圖象才能更好地解決相應問題. 例:設 ω > 0 ,若函數 f ( x )= 2 sin ωx 在

57、π π , 上單調遞增,求 ω 的取值范圍. 3 4

58、2

59、解析:如圖(右) ,據三角函數的圖象及其性質 知 f ( x ) 在

60、π π , 上單增. 2ω 2ω

61、π 2ω

62、π 2ω

63、π π π π ∴ , 應該為 , 的子區間. 3 4 2ω 2ω

64、π π ≤ 3 ∴ 2ω π π ≥ 2ω 4

65、3 ∴ ω ∈ 0, . 2

66、注:三角函數的很多問題涉及圖象,如能充分借助圖象,進行直觀分析,數形結合常能 快捷解答問題.

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。