柯西施瓦茨不等式證明方法（柯西施瓦茨不等式）

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。柯西施瓦茨不等式證明方法，柯西施瓦茨不等式很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、施瓦茨不等式

2、一、高數中的施瓦茨不等式

3、證明：令，則

4、從而有，即

5、對的二次三項式講，，從而有

6、所以

7、二、線代中的施瓦茨不等式

8、[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

9、證明：

10、構造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2>=0

11、 (x1^2+x2^2+...xn^2)z^2+2*z (x1y1+x2y2+...xnyn) +(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=0

12、上面的不等式左邊是關于z的一元二次方程

13、那么它的根判別式Δ<=0

14、Δ=4(x1y1+x2y2+...xnyn)^2-4(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)<=0

15、得證[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

16、三、概率論中的施瓦茨不等式

17、證明：由于對任何隨機變量，方差非負，所以對任意實數t,

18、D(Y-tX)=E{[(Y-tX)-E(Y-tX)]2}

19、 =E{[(Y-E(Y))-t(X-E(X)] 2}

20、 =E{(Y-E(Y))2-2t[(X-E(X)(Y-E(Y))]+t2(X-E(X))2}

21、 =t2E(X-E(X))2 -2tE[(X-E(X)(Y-E(Y))]2+E(Y-E(Y))2

22、 =t2D(X)-2tCov(X,Y)+D(Y)>=0

23、不等式左邊是關于t 的二次多項式，對任意實數t，它非負的充分必要條件是判別式<=0，即4[Cov(X,Y)]2-4D(X)D(Y)<=0,

24、得證：[Cov(X,Y)]2<=D(X)D(Y)

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。