【ln sup2 x的原函數是什么】在微積分中，求一個函數的原函數（即不定積分）是常見的問題。對于函數 $ \ln^2 x $，其原函數并不是特別直觀，需要通過分部積分法進行推導。本文將總結 $ \ln^2 x $ 的原函數，并以表格形式展示相關公式和步驟。
一、原函數推導過程
設 $ f(x) = \ln^2 x $，要求其原函數，即求：
$$
\int \ln^2 x \, dx
$$
使用分部積分法，令：
- $ u = \ln^2 x $，則 $ du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx $
- $ dv = dx $，則 $ v = x $
根據分部積分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln^2 x - 2 \int \ln x \, dx
$$
接下來計算 $ \int \ln x \, dx $，同樣使用分部積分法：
- $ u = \ln x $，$ du = \frac{1}{x} dx $
- $ dv = dx $，$ v = x $
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C
$$
因此，
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2 (x \ln x - x) + C = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C
$$
二、總結與公式表
| 函數 | 原函數（不定積分） | 備注 |
| $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ | 常用積分公式 |
| $ \ln^2 x $ | $ x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C $ | 通過分部積分法推導得出 |
三、注意事項
- 在計算過程中，分部積分法是解決含對數函數積分的關鍵工具。
- 對于更高次冪的對數函數（如 $ \ln^n x $），也可以采用類似方法逐步降冪求解。
- 實際應用中，常需結合具體上下限進行定積分計算。
通過以上分析可以看出，雖然 $ \ln^2 x $ 的原函數看似復雜，但通過合理的積分技巧可以順利求出。掌握這類積分方法，有助于提升對微積分的理解與應用能力。