數學歸納法是幾年級學的（數學歸納法）

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。數學歸納法是幾年級學的，數學歸納法很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、數學歸納法是一種數學證明方法，典型地用于確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用于數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式；這就是著名的結構歸納法。

2、已知最早的使用數學歸納法的證明出現于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 證明了前 n 個奇數的總和是 n^2。

3、最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬于所有自然數時一個表達式成，這種方法是由下面兩步組成:

4、遞推的基礎: 證明當n = 1時表達式成立。

5、遞推的依據: 證明如果當n = m時成立，那么當n = m + 1時同樣成立。(遞推的依據中的“如果”被定義為歸納假設。 不要把整個第二步稱為歸納假設。)

6、這個方法的原理在于第一步證明起始值在表達式中是成立的，然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那么任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。或許想成多米諾效應更容易理解一些；如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那么如果你可以確定：

7、第一張骨牌將要倒下。

8、只要某一個骨牌倒了,與他相臨的下一個骨牌也要倒。

9、那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。

10、數學歸納法的原理作為自然數公理，通常是被規定了的(參見皮亞諾公理第五條)。但是它可以用一些邏輯方法證明；比如，如果下面的公理：

11、自然數集是有序的

12、被使用。

13、注意到有些其他的公理確實的是數學歸納法原理中的二者擇一的公式化。更確切地說，兩個都是等價的。

14、用數學歸納法進行證明的步驟：

15、 （1）（歸納奠基）證明當 取第一個值 時命題成立；證明了第一步，就獲得了遞推的基礎，但僅靠這一步還不能說明結論的普遍性.在第一步中，考察結論成立的最小正整數就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數，即使命題對這幾個正整數都成立，也不能保證命題對其他正整數也成立；

16、 （2）（歸納遞推）假設 時命題成立，證明當 時命題也成立；證明了第二步，就獲得了遞推的依據，但沒有第一步就失去了遞推的基礎.只有把第一步和第二步結合在一起，才能獲得普遍性的結論；

17、 （3）下結論：命題對從 開始的所有正整數 都成立。

18、 注：

19、 （1）用數學歸納法進行證明時，“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個步驟缺一不可；

20、 （2）在第二步中，在遞推之前， 時結論是否成立是不確定的，因此用假設二字，這一步的實質是證明命題對 的正確性可以傳遞到 時的情況.有了這一步，聯系第一步的結論（命題對 成立），就可以知道命題對 也成立，進而再由第二步可知 即 也成立，…，這樣遞推下去就可以知道對于所有不小于 的正整數都成立.在這一步中， 時命題成立，可以作為條件加以運用，而 時的情況則有待利用歸納假設、已知的定義、公式、定理加以證明，不能直接將 代入命題.

21、例子：

22、比如證明：1+2+3+4+……+n=n*(n+1)/2

23、先證明n=1時成立，n=1時，左式=1，右式=1*(1+1)/2=1,左右相等，證明，當n=1時，等式成立。

24、假設n=n時，等式成立，只要再證明n=n+1時，等式成立，則說明n=任何自然數時，等式都成立。（因為n=1成立，那么如果n=1+1也成立，就說明n=2時也成立，如果n=2成立 ，那么如果n=2+1也成立，就說明n=3時也成立，如果n=n時成立，那么如果n=n+1時成立，那么說明n+1時，等式也成立。）

25、當n=n時，1+2+3+…+n=n*(n+1)/2,(假設的)

26、當n=n+1時，左式=1+2+3+…+n+（n+1）=n*(n+1)/2+（n+1），

27、經過分解因式、合并同類項，得到（n+1）* （n+1+1）/2，是不是等于（n+1）*[（n+1）+1]這個公式呢？

28、于是推出，當n=n+1時，等式成立。

29、所以等式在任何自然數下都成立。

30、還不明白？因為n=1成立，n=2=1+1也能證明成立，……，n=n+1成立，所以么……

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。