整式的乘法與因式分解計算題（整式的乘法與因式分解）

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。整式的乘法與因式分解計算題，整式的乘法與因式分解很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、八上·第十五章 “整式的乘除與因式分解”簡介 課程教材研究所 左懷玲 俞求是 人教版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》第十五章是“整式的乘除與因式分解”.本章的主要內容是整式的乘除運算、乘法公式以及因式分解.本章內容建立在已經學習了的有理數運算、列簡單的代數式、一次方程及不等式、整式的加減運算等知識的基礎上.整式的乘除運算和因式分解是基本而重要的代數初步知識,這些知識是以后學習分式和根式運算、函數等知識的基礎,在后續的數學學習中具有重要意義,同時,這些知識也是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可缺少的數學基礎知識. 本章共安排了4個小節,教學時間約需13課時（供參考）： 15.1 整式的乘法 4課時 15.2 乘法公式 2課時 15.3 整式的除法 2課時 15.4 因式分解 3課時 數學活動 小結2課時 一、教科書內容和課程學習目標 （一）本章知識結構框圖 （二）教科書內容 本章共包括4節 15.1 整式的乘法 整式的乘法是整式四則運算的重要組成部分.本節分為四個小節,主要內容是整式的乘法,這些內容是在學生掌握了有理數運算、整式加減運算等知識的基礎上學習的.其中,冪的運算性質,即同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎,教科書把它們依次安排在前三個小節中,教學中應適當復習冪、指數、底數等概念,特別要弄清正整數指數冪的意義. 在學生掌握了冪的運算性質后,作為它們的一個直接應用,教科書在第四小節安排一般整式乘法的教學內容.首先是單項式與單項式相乘,由于進行單項式與多項式、多項式與多項式相乘的前提是熟練地進行單項式與單項式相乘,因此,對于單項式與單項式相乘的教學應該予以充分重視.在學生掌握了單項式與單項式相乘的基礎上,教科書利用分配律等進一步引入單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘,這樣使整式乘法運算的教學從簡到繁,由易到難,層層遞進. 15.2 乘法公式 本節分為兩個小節,分別介紹平方差公式與完全平方公式. 乘法公式是整式乘法的特殊情形,是在學習了一般的整式乘法知識的基礎上學習的,運用乘法公式能簡化一些特定類型的整式相乘的運算問題,教科書在本節開始首先指出了這一點.接著,在第一小節安排了平方差公式的教學,教科書首先安排了下一個“探究”欄目,安排了3個題目,讓學生通過計算,總結三個題目結果的共同點,發現其中的規律.接著,教科書推證了平方差公式,并進一步借助于幾何圖形對公式作了直觀解釋,讓學生能更好地理解此公式.最后,舉例說明運用平方差公式進行有關的計算.第二小節教科書設計了與第一小節類似的教學過程,引進了乘法的完全平方公式. 為了滿足整式運算的需要,在本小節引進了添括號法則,這也是很重要的整式運算知識. 15.3 整式的除法 整式的除法也是整式四則運算的重要組成部分.本節也分為兩個小節.同底數冪的除法是學習整式除法的基礎和關鍵,因此教科書在第一小節中首先介紹同底數冪除法的性質.對于同底數冪除法,這里只先討論所得商仍是整式的情形,對于所得商是分式的情形將在后續內容引入負整數指數冪的概念以后再討論. 能熟練地進行單項式除以單項式的除法是進行多項式除以單項式等一般的整式除法的前提.在第二小節,教科書根據乘、除互為逆運算的關系,并以分配律、同底數冪的除法為依據,由計算具體的實例得到單項式除以單項式的除法法則.同樣地,對于單項式除以單項式的除法,討論的問題也都在被除式中字母的指數大于或等于除式中字母的指數的限制條件范圍內. 對于多項式除以單項式,教科書是從計算 來導出運算法則的,根據是乘除法互為逆運算以及分配律.可以看出,法則的基本點是把多項式除以單項式轉化為單項式的除法,而單項式除法是已經學習并掌握了的. 在本章中,不討論多項式除以多項式等一般性的問題. 15.4 因式分解 因式分解是解析式的一種恒等變形,因式分解不但在解方程等問題中極其重要,在數學科學其他問題和一般科學研究中也具有廣泛應用,是重要的數學基礎知識.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、待定系數法等.本教科書安排了多項式因式分解比較基本的知識和方法,它包括因式分解的有關概念,整式乘法與因式分解的區別與聯系,因式分解的兩種基本方法,即提公因式法和公式法.兩種方法分別安排在第1和第2小節. （三）課程學習目標 通過本章教學要求達到以下的教學目標： 1. 使學生掌握正整數冪的乘、除運算性質,能用代數式和文字語言正確地表述這些性質,并能運用它們熟練地進行運算.使學生掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則,并運用它們進行運算. 2. 使學生會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式）,了解公式的幾何意義,能利用公式進行乘法運算. 3. 使學生掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算,并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算. 4.使學生理解因式分解的意義,并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算,掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解. 二、本章編寫特點 （一）強調重要數學思想方法的滲透 根據數與式之間的聯系,教材通過類比的思想方法,由數的運算引出式的運算規律,體現了數學知識間具體與抽象的內在聯系和數學的內在統一性. 對于整式乘法法則的教學,教科書注意滲透“轉化”的思想方法.例如,多項式與多項式相乘的法則,第一步是轉化為多項式與單項式相乘,第二步則是轉化為單項式與單項式相乘,而單項式與單項式相乘則轉化為有理數的乘法與同底數冪的乘法. 在整式除法的教學中教科書也注意滲透“轉化”的思想方法,多項式與單項式相除第一步是轉化為單項式與單項式相除,第二步是轉化為有理數的除法與同底數冪的除法. 由上可知,整式的乘、除法教學要循序漸進,打好各項知識的基礎,并運用好轉化的思想方法,就能夠很好地完成后面的教學內容,取得較好的教學效果. 此外,本章教材注意了代數與幾何之間的聯系,體現了數形結合的重要數學思想和方法,如在整式乘法和乘法公式部分,借助于幾何圖形對運算法則及公式作了直觀解釋,體現了代數與幾何之間的內在聯系和統一,能讓學生更好地理解有關知識. （二）充分體現從具體到抽象再到具體的認知過程 從具體的實際問題出發,歸納出相關的數學概念,或抽象出隱含在具體問題中的數學思想和規律,這是本章的一個突出特點.密切聯系實際,體現知識的形成和應用過程,這是本章編寫中很重視的一個問題. 以第15.1節為例,無論同底數冪相乘、冪的乘方還是積的乘方,都是從具體、簡單題目的運算出發,最后歸納出運算性質,然后再用歸納得出的結果進一步指導比較復雜的實際問題.而整式的乘、除法也是從具體的問題出發,歸納出運算法則,再進一步用于解決實際問題.這種從具體到抽象,再由抽象到具體的編排方式,可以循序漸進地向學生呈現教學內容,有助于學生的理解和掌握,符合現階段學生的認知水平. （三）根據數學知識的邏輯關系循序漸進安排教學內容 本章所涉及的數學教學內容之間不僅具有密切的聯系,且具有很強的邏輯關系.整式的乘法與除法是互為逆運算,乘法公式是具有特殊形式的整式乘法問題,整式的乘法與因式分解是方向相反的恒等變形,在涉及的這些內容中,整式的乘法是引入后續內容教學的基礎,學好一般整式乘法的知識是進一步學習本章其他知識的前提.本章根據知識之間的這種邏輯關系,把教學重點放在整式乘法的教學上,符合邏輯、循序漸進地安排了單項式與單項式相乘、多項式與單項式相乘、多項式與多項式相乘、乘法公式的教學內容.再如,根據數與式之間的聯系,教科書通過類比的思想方法,由數的運算引出式的運算規律；引入乘法公式時,指出研究的是某些特殊形式的多項式相乘問題；根據整式乘法與整式除法的關系導出整式除法法則.在本章的教學中也應該注意本章知識之間的這種邏輯關系,使學生能從整體上把握本章知識. 三、本章教學中幾個值得關注的問題 1.重視運算性質和公式的發生和歸納過程的教學 本章整式乘法運算性質、除法運算性質、乘法公式的得出過程,教科書是從某些具體的數與式計算,歸納得到一般的式的運算法則,是一個由特殊到一般,從具體到抽象的歸納過程.在性質和公式的教學中,要重視上述歸納過程的教學,使學生在這個過程中理解和掌握性質和公式,并能用代數式和文字語言正確地表述這些性質,運用它們熟練地進行運算.應使學生在理解的基礎上加以記憶,在運用、練習的過程中進一步加以鞏固,并加深理解.另外,教科書在得到某些運算法則的過程中在邏輯上看也并不具備嚴密性,在教學中則應該考慮學生思維能力發展的年齡特點,把握好邏輯的適度嚴密性. 2．重視發揮學生的主觀能動性 充分信任學生,努力發揮他們的主觀能動性,讓他們通過觀察、思考、探究、討論、歸納,主動地進行學習.勤于思考,善于思考,是學好數學的先決條件. 在本章中,教材安排了大量的“探究”和“思考”欄目.通過“探究”欄目讓學生體驗研究問題,解決問題,最后得出一般結論的過程,加深學生對問題的理解,使其既知其然,又知其所以然.本章共安排了9個“探究”欄目,許多重要結論或概念都是通過這個欄目歸納和總結出來的.在教學過程中應該充分發揮“探究”欄目的作用.通過這個欄目,學生一方面可以體驗獲得結論的過程,另一方面可以獲得成功的喜悅. 課程改革的目的之一是促進學習方式的轉變,加強學習的主動性和探究性,培養學生的創新精神和自學意識,而“思考”欄目的安排也是為實現上述的目標所做的設計之一.例如,在15.2.1節,通過對面積的討論,可以發現平方差公式與面積之間的內在聯系,進而感受到幾何與代數內在的統一性.又如,在15.3.2節,通過“思考”欄目,讓學生在思考具體問題的基礎上自己歸納出單項式相除的法則.總之,通過“思考”欄目,學生們可以開動腦筋,加強發現探索,培養探究精神. 在本章的教學中,還要有意識地鼓勵學生尋找“富有挑戰性”的學習材料,適當地進行數學活動和交流,在探究、討論、思考的過程中獲得知識,培養能力.在本章的“數學活動”和“拓廣探索”欄目中都設計了一些探究性的問題,老師們應該適當地安排這些問題,鼓勵學生積極思維,努力探索,提高數學思維水平. 3．注意把握教學要求 根據課程標準,本章要求學生會進行簡單的整式乘法（其中的多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）運算和除法運算.會推導平方差公式和完全平方公式,并了解公式的幾何背景,能利用公式進行簡單的計算.會用提公因式法和公式法進行因式分解（指數是正整數）. 應該看到,本章的內容都是重要的數學基礎知識,應用極其廣泛,對于后續學習影響很大.所以,一方面,要重視本章知識的教學,把教學要求落到實處.另一方面也應該看到,本章的教學內容與傳統的教學比較,在教學要求上有了一些降低,如對于整式乘除運算的教學要求,乘法公式的教學要求,對于因式分解的介紹等,都在一定程度上降低了內容的廣度和深度.教學中,老師們可能會受到教學傳統習慣和思想的影響,不自覺地拓寬教學內容范圍、提高教學要求.老師們要認真學習領會課程標準的思想,貫徹教科書的編寫意圖,在教學中按照教科書的要求組織教學,努力克服教學傳統觀念的影響.例如,對于因式分解,教科書只要求學生會靈活地運用提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）兩種分解方法,對分組分解法和十字相乘法則不做要求.對于其他因式分解方法,教科書只在選學欄目中給出了一種,即 型式子的因式分解（十字相乘法）,供學有余力的同學參考.教學中就應該把握好這樣的教學要求. 4．抓住教學重點和關鍵,突破教學難點 本章的教學重點之一是整式的乘除,包括乘法公式.從整式乘除的地位和作用可知,如果不掌握好這部分內容,會給以后的學習帶來極大的困難.因此要有針對性地加強練習,務必使學生對整式的乘除運算,包括其中運用乘法公式進行計算達到熟練的程度. 在整式的乘除中,單項式的乘除是關鍵.這是因為其他乘除都要轉化為單項式的乘除.實際上,單項式的乘除進行的是冪的運算與有理數的運算,因此冪的運算是學好整式乘除的基石. 乘法公式的結構特征以及公式中字母的廣泛含義學生不易掌握,運用時容易混淆,因此乘法公式的靈活運用是本部分的難點.在教學中要引導學生分析公式的結構特征,并在練習中與所運用公式的結構特征聯系起來,對所發生的錯誤多做具體分析,以加深學生對公式結構特征的理解. 添括號時,括號內符號的確定是本部分的另一個難點.掌握添括號法則的關鍵是要把添上括號后括號內的多項式與括號前面的符號看成統一體,對于這一點學生不易理解,要結合例題進行分析.學生在學習添括號時,感覺添括號比去括號要難,括號前是“—”號比括號前是“+”號要難.遇到括號前是“—”號時,學生容易漏掉括號內一部分項的變號,在講解例題時要強調法則中“各項”的含義. 因式分解一直是初中數學教學的一個難點,原因在于分解因式的方法很多,變化技巧較高,且沒有一種一般有效的方法.教學中要注意把握教學要求,防止隨意拓寬內容和加深題目的難度.教科書對于因式分解這部分內容要求僅限于因式分解的兩種基本方法,即提公因式法和公式法,教學中則應讓學生牢固地掌握. 5．注意安排學生對選學內容的學習 教學中除了要關注學生在數學知識和數學能力方面的提高外,還要考慮在傳承數學史知識及數學文化修養方面做出努力,以使學生在獲得數學知識的同時人文精神也得到陶冶. 本章安排了“閱讀與思考”“觀察與猜想”兩個選學欄目,這些選學內容是本章有關內容的拓展與延伸.不失時機地安排學生閱讀這些材料,可以開闊他們的視野,拓展他們的知識面. “閱讀與思考”欄目中的“楊輝三角”,不但可以使學生了解一些二項展開式中各項系數的知識從而增強他們的數學修養,還可以潛移默化地培養他們的愛國情懷.“觀察與猜想”欄目,讓學生初步感受分解因式的另一種方法——十字相乘方法,這有利于學生理解必修內容.。

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