積分上限函數求導與積分下限有關嗎（積分上限函數求導）

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原發布者:nidexea

§21、積分上限函數及其導數微積分學基本定理定義1：設f(x)在[a,b]上可積，則對x[a,b]，f(x)在[a,x]上也可積，于是，(x)af(t)dt，x[a,b]定義了一個以積分上限x為自變量的函由數，稱為變上限函數；(x)xf(t)dt，x[a,b]稱為變下限的函數；(x)和(x)統稱為變限函數。定理1若函數f(x)在[a,b]上可積，則變上限函數(x)af(t)dt在[a,b]上連續。定理2（原函數存在定理）：若函數f(x)在[a,b]上連續，則變上限函數(x)f(t)dt在[a,b]上可微，且(x)axxbxdxf(t)dtf(x)，x[a,b]dxa證：x[a,b]，任取x0，且xx[a,b]，則(xx)(x)xxaf(t)dtf(t)dtax由積分中值定理知，存在介于x與x+x之間，使得f()x，由于x0x，再由導數定義及f(x)的連續性知limlim(x)xxf()limf()f(x).x0x0推論：(x)(af(t)dt)f((x))(x)；((x)(x)f(t)dt)f((x))(x)f((x))(x)例1例2dt2設f(x)sinx1t2，求f()6ddtsintdt0x例3limx0sin0x2tx32、Newton—Leibniz公式定理3（Newton—Leibniz公式）：如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間a,b上的一個原函數，則xbaf(x)d

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