問如何用向量計算點到平面的距離

【如何用向量計算點到平面的距離】在三維幾何中，計算一個點到一個平面的距離是一個常見的問題。利用向量方法可以簡潔、準確地解決這個問題。本文將總結點到平面距離的計算方法，并以表格形式展示關鍵步驟和公式。

一、核心概念

- 點：空間中的一個坐標 (x?, y?, z?)

- 平面：由方程 Ax + By + Cz + D = 0 表示

- 法向量：平面的法向量為 $\vec{n} = \langle A, B, C \rangle$

- 點到平面的距離：從點 P 到平面 π 的最短距離，即垂直距離

二、計算公式

點 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距離 $d$ 可用以下公式計算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- 分子是點代入平面方程后的絕對值；

- 分母是法向量的模長。

三、步驟總結（表格形式）

四、實例演示

假設點 $P(1, 2, 3)$，平面方程為 $2x - 3y + 6z - 12 = 0$

- $A = 2$, $B = -3$, $C = 6$, $D = -12$

- 點代入得：$2(1) - 3(2) + 6(3) - 12 = 2 - 6 + 18 - 12 = 2$

- 絕對值為 $2 = 2$

- 法向量模長：$\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

- 距離 $d = \frac{2}{7}$

五、注意事項

- 平面方程必須寫成標準形式 $Ax + By + Cz + D = 0$；

- 若已知平面的點法式方程或參數式方程，需先轉換為一般式；

- 公式適用于所有三維空間中的點和平面，不依賴于坐標系選擇。

通過以上步驟和公式，可以系統地計算出任意點到平面的垂直距離。這種方法不僅直觀，而且便于編程實現，在工程、計算機圖形學、物理等領域有廣泛應用。