托勒密定理的證明（托勒密）

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。托勒密定理的證明，托勒密很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

托勒密定理：圓內接四邊形兩條對角線的乘積等于兩對對邊乘積之和。

如下圖所示，ABCD為圓內接四邊形，則對角線AC與BD的乘積等于一對對邊AB與CD的乘積加上另一對對邊AD與BC的乘積，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

證明：

（1）如下圖所示。不妨設∠ACB大于∠ACD（其實也無所謂，見下圖圖2，先不用管它）。于是，在∠ACB內作一個以點C為頂點、以CB為一邊的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（圖(1)中的紅色角）。

又由于∠CAD=∠CBE（同弧同側的圓周角相等），所以三角形ACD與BCE相似。于是有AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE（稱為1式）。

（2）同理，如上圖圖(2)所示，三角形CDE與ABC相似。從而有CD : AC = DE : AB，即AB·CD=AC·DE（稱為2式）。

（3）1式加上2式，即得AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD。即

AC·BD=AB·CD+AD·BC證畢。

擴展資料

推廣

托勒密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。

簡單的證明：復數恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，

得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

推論

1、任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。

2、托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接于一圓。

參考資料來源：搜狗百科-托勒密定理

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。