對數換底公式的推導過程是什么（對數換底公式的推導過程）

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。對數換底公式的推導過程是什么，對數換底公式的推導過程很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1,要求證 logab= logc b/logc a , 不妨令a^x=b,c^y=b,c^z=a;

∵（c^z）^x=b,既得 c^(zx)=b, 也就是y=zx.

根據指數，對數定義，

換底公式就是 x=y/z, 已經證得。 2, 換底公式的形式： 　　換底公式是一個比較重要的公式，在很多對數的計算中都要使用，也是高中數學的重點。 　　log（a）（b）表示以a為底的b的對數。 　　所謂的換底公式就是 　　log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a） 換底公式的推導過程： 　　若有對數log（a）（b）設a=n^x,b=n^y(n>0,且n不為1) 　　則 　　log（a）（b）=log（n^x）(n^y) 　　根據 對數的基本公式 　　log(a）(M^n)=nloga(M) 和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M 　　易得 　　log(n^x)(n^y)=y/x 　　由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b) 　　</B>則有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a) 　　得證：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a) 　　例子：log(a)(c)^log(c)(a)=log(c)(a)/log(c)(c)^log(c)(a)=1 3,換底公式的應用： 　　1.通常在處理數學運算中，將一般底數轉換為常用對數以e為底（即In）或者是以10為底（即lg）的對數，方便我們運算；有時也通過用換底公式來證明或求解相關問題； 　　2.在工程技術中，換底公式也是經常用到的公式， 　　例如，在編程語言中，有些編程語言（例如C語言）沒有以a為底b為真數的對數函數；只有以常用對數e或10為底的對數（即In、Ig）,此時就要用到換底公式來換成以e或者10為底的對數來表示出以a為底b為真數的對數表達式，從而來處理某些實際問題。 4,所謂的換底公式就是log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).

換底公式的推導過程：

若有對數 log(a)(b) 設a=n^x,b=n^y

則 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)

根據 對數的基本公式log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

和 基本公式log(a^n)(M)=1/n×log(a)(M)

易得 log(n^x)(n^y)=y/x

由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)

則有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

得證：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a). 5,設loga b=k

所以a^k=b

因為logc b=logc a^k=klogc a

所以(logc b)/(logc a)=k=loga b 6,設a=x的m方，b=x的n方，則log(a)b=log((x)的m方)(x的n方)=M/N)*log(a)b,

然后將m=log(x)a,n=log(x)b再帶回m/n就行了。

因為a=x的m方，b=x的n方所以m=log(x)a,n=log(x)b

7, 換底公式

log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

推導如下

N = a^[log(a)(N)]

a = b^[log(b)(a)]

綜合兩式可得

N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因為N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 8, N

設y＝loga

y

則a ＝N．

兩邊取以a為底的對數

a N

ylogm ＝logm

N

logm

y＝－－－－－

a

logm

N

N logm

即 loga ＝－－－－－－

a ．

logm

設a^b=N…………①

則b=logaN…………②

把②代入①即得對數恒等式：

a^(logaN)=N…………③

把③兩邊取以m為底的對數得

logaN·logma=logmN

所以

logaN=(logmN)/(logma) 9,由N=alogaN，兩邊取以 b為底的對數，得 logbN=logbalogaN． ∵logbalogaN=logaN??logba，

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。