托勒密定理（托勒密）

大家好，我是小華，我來為大家解答以上問題。托勒密定理，托勒密很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、定理的提出 　　一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。

2、 [編輯本段]定理的內容 　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。

3、 　　原文：圓內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。

4、 　　從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質． [編輯本段]證明 　　（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。

5、） 　　在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 　　因為△ABE∽△ACD 　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 　　又有比例式AB/AC=AE/AD 　　而∠BAC=∠DAE 　　所以△ABC∽△AED相似. 　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 　　又因為BE+ED≥BD 　　（僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 　　所以命題得證 [編輯本段]推論 　　1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。

6、 　　2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接于一圓、 [編輯本段]推廣 　　托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。

7、 　　簡單的證明：復數恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 　　注意： 　　1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。

8、 　　2.四點不限于同一平面。

9、 　　歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD·BC+AB·CD=AC·BD。

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。