傅立葉級數的形式（傅立葉級數）

大家好，我是小華，我來為大家解答以上問題。傅立葉級數的形式，傅立葉級數很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、一． 傅里葉級數的三角函數形式 　　設f(t)為一非正弦周期函數，其周期為T，頻率和角頻率分別為f , ω1。

2、由于工程實際中的非正弦周期函數，一般都滿足狄里赫利條件，所以可將它展開成傅里葉級數。

3、即 　　其中A0/2稱為直流分量或恒定分量；其余所有的項是具有不同振幅，不同初相角而頻率成整數倍關系的一些正弦量。

4、A1cos(ω1t+ψ1)項稱為一次諧波或基波，A1，ψ1分別為其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)項的角頻率為基波角頻率ω1的2倍，稱為二次諧波，A2，ψ2分別為其振幅和初相角；其余的項分別稱為三次諧波，四次諧波等。

5、基波，三次諧波，五次諧波……統稱為奇次諧波；二次諧波，四次諧波……統稱為偶次諧波；除恒定分量和基波外，其余各項統稱為高次諧波。

6、式（10-2-1）說明一個非正弦周期函數可以表示一個直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。

7、 　　上式有可改寫為如下形式，即 　　當A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函數f(t)的傅里葉級數展開式。

8、 　　把非正弦周期函數f(t)展開成傅里葉級數也稱為諧波分析。

9、工程實際中所遇到的非正弦周期函數大約有十余種，它們的傅里葉級數展開式前人都已作出，可從各種數學書籍中直接查用。

10、 　　從式（10-2-3）中看出，將n換成(-n)后即可證明有 　　a-n=an 　　b-n=-bn 　　A-n=An 　　ψ-n=-ψn 　　即an和An是離散變量n的偶函數，bn和ψn是n的奇函數。

11、 　　二． 傅里葉級數的復指數形式 　　將式（10-2-2）改寫為 　　可見 與 互為共軛復數。

12、代入式（10-2-4）有 　　上式即為傅里葉級數的復指數形式。

13、 　　下面對和上式的物理意義予以說明： 　　由式（10-2-5）得的模和輻角分別為 　　可見的模與幅角即分別為傅里葉級數第n次諧波的振幅An與初相角ψn，物理意義十分明確，故稱為第n次諧波的復數振幅。

14、 　　的求法如下：將式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 　　上式即為從已知的f(t)求的公式。

15、這樣我們即得到了一對相互的變換式（10-2-8）與（10-2-7），通常用下列符號表示，即 　　即根據式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再將所求得的代入式（10-2-7），即將f(t)展開成了復指數形式的傅立葉級數。

16、 　　在（10-2-7）中，由于離散變量n是從（-∞）取值，從而出現了負頻率（-nω1）。

17、但實際工程中負頻率是無意義的，負頻率的出現只具有數學意義，負頻率（-nω1）一定是與正頻率nω1成對存在的，它們的和構成了一個頻率為nω1的正弦分量。

18、即 　　引入傅立葉級數復指數形式的好處有二：（1）復數振幅同時描述了第n次諧波的振幅An和初相角ψn；（2）為研究信號的頻譜提供了途徑和方便。

19、 　　高等數學中的傅立葉級數 　　傅立葉系數 　　傅立葉系數包括系數 ，積分號和它的積分域，以及里面的兩個周期函數的乘積——其中一個是關于f的，另一個是關于x的函數f(x),另一個則是和級數項n有關的三角函數值。

20、這個三角函數可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立葉系數包括正弦系數和余弦系數。

21、其中當n=0時，余弦值為1，此時存在一個特殊的系數 ，它只與x有關。

22、正弦系數再成一個正弦，余弦再乘一個余弦，相加并且隨n求和，再加上一半的 ，就稱為了這個特別的函數f(x)的傅立葉級數。

23、為什么它特別呢，我想因為這里只有它只限于一個周期函數而已，而級數的周期就是f(x)的周期，2 。

24、 　　如果函數f(x)存在一個周期，但是不是2 了，而是關于y軸對稱的任意一個范圍，它還能寫成傅立葉級數么？也可以的。

25、只要把傅立葉系數里的 換成l，并且把積分號里的三角函數中的n 下除一個l，同時把系數以外的那個n 底下也除一個l。

26、其他的都不動。

27、也可以認為，2 周期的傅立葉級數其實三角函數中x前面的系數應該是 ，其他的 （積分域和系數）應該是x，只不過這時所有的l都是 罷了。

28、 　　前面提及了，周期或是積分域，是關于y軸的一個任意范圍。

29、其實周期函數不用強調這個，但是為什么還要說呢？因為要特別強調一下定義域是滿的。

30、有些函數的定義域不是滿的，是0到l，當然這樣它有可能不是周期的。

31、這些函數能寫成傅立葉級數么？同樣可以。

32、而且，它的寫法不再是正弦和余弦函數的累積，而是單獨的一個正弦函數或是余弦函數。

33、具體怎么寫，就取決于怎么做。

34、因為域是一半的，所以自然而然想到把那一半補齊，f就成了周期函數。

35、補齊既可以補成奇函數也可以補成偶函數。

36、補成積函數，寫成的級數只有正弦項，即 為0。

37、補成偶函數，寫成的級數就只含有余弦項和第一項，即 為0。

38、而，傅立葉系數相比非積非偶的函數要大一倍。

39、 　　其實，如果不經延拓，上面那些對于奇偶函數同樣使用。

40、 　　在做題時，常常看到級數后面跟著一個系數還有一個正弦函數，然后后面給出了這個系數很復雜的一串式子，這時候就容易突然短路了。

41、但是如果再定睛一看，會發現其實那個系數不過是一個有積分的傅立葉系數而已。

42、那么一大串，應該看什么呢？應當先看積分域，一下就可以定出周期了。

43、第二步要明確級數和函數的關系即等價關系。

44、函數不但包含在級數中，而且函數本身也是和級數等價的。

45、但一般那個級數里的函數是一個擺設，不起什么作用。

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。