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海倫公式證明詳細步驟（海倫公式證明）

導讀大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。海倫公式證明詳細步驟，海倫公式證明很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！1、海倫公式又...

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。海倫公式證明詳細步驟，海倫公式證明很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫（Heron,也稱海龍）二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。

2、假設在平面內，有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得:

3、S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

4、而公式里的p為半周長:

5、p=(a+b+c)/2

6、證明過程（三種方法）

7、證明⑴

8、與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為

9、cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

10、S=1/2*ab*sinC

11、=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

12、=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

13、=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

14、=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

15、=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

16、=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

17、設p=(a+b+c)/2

18、則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

19、上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

20、=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

21、所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

22、證明⑵

23、中國宋代的數學家秦九韶也提出了"三斜求積術"。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式"底乘高的一半"，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積?直到南宋，中國著名的數學家秦九韶提出了"三斜求積術"。

24、秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。"術"即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數被4除，所得的數作為"實"，作1作為"隅"，開平方后即得面積。

25、所謂"實"、"隅"指的是，在方程px 2=q,p為"隅"，q為"實"。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以

26、q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

27、當P=1時，△ 2=q,

28、△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

29、因式分解得

30、△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

31、=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

32、=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

33、=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

34、=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

35、=p(p-a)(p-b)(p-c)