schmidt正交化方法（schmidt正交化）

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1、原發布者:aiciuseem

2、Gram-Schmidt正交化方法正射影設歐式空間中向量線性無關,令;(1);…….則均非零向量,且兩兩正交.再令則為規范正交組.將(1)重新寫成,其中,有令則上式左端的實方陣是的格蘭母矩陣，記為：，上式右端中間的對角陣是的Gram矩陣.即有:因此注意：對任意一個向量組，無論它是線性相關，還是線性無關，它總有Gram矩陣（或者事先給出定義）.例1設歐式空間中向量，則（1）線性無關;（2）線性相關.證明:只證（2）設線性相關，則存在一個向量，不妨設為,可由其余向量線性表示:給階的行列式的第行乘數加到第行，得法一：由上頁證明推理過程立即得證。法二：當時，的行向量組線性相關，因此存在不全為零的實數，使.即.故，即有.即有線性相關.注：當線性無關時，，且.推論1設是歐氏空間中任意向量，則(ⅰ)是半正定矩陣；(ⅱ)是正定陣線性無關.證明(ⅰ)對任意，主子式總大于或等于零.因此是半正定矩陣.(ⅱ)（）當線性無關時，對任意，主子式總大于零（因為線性無關）.故是正定陣.（）由例1，這是顯然的.推論2(ⅰ)設歐氏空間中向量線性無關，則，且上式取等號兩兩正交.(ⅱ)設（歐），則.(ⅲ)設，，則，故.當可逆時，上式取等號，有.例2設是歐氏空間中的向量，且它們線性無關.證明.證明令，其中.則是線性無關向量組的矩陣，故正定.假如的元素中，絕對值最大者不在主對角線，設，.則，.故.這樣的二階主子式.這與是正定陣相矛盾.因此的元素中，絕對值

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