矩陣的列向量組的秩怎么求（向量組的秩怎么求）

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。矩陣的列向量組的秩怎么求，向量組的秩怎么求很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、為討論方便，設A為m階方陣

2、證明：設方陣A的秩為n

3、因為任何矩陣都可以通過一系列初等變換，變成形如

4、1

5、…

6、…

7、1

8、…

9、…

10、…………………

11、…

12、1

13、…

14、…

15、…

16、…………………

17、…

18、…

19、的矩陣，稱為矩陣的標準形（注：這不是二次型的對稱矩陣提到的標準形）本題討論的是方陣，就是可以通過一系列初等行變換的標準形為主對角線前若干個是1；其余的是若干個0

20、以及除對角線以外的元素都是0。設A的標準形為B

21、因為“m×m階矩陣構成的數域P上的線性空間”與

22、“該線性空間上的全體線性變換在數域P上的線性空間”同構。所以研究得到線性空間的性質可以照搬到線性變換空間上應用，從同構的意義上說，他們是“無差別”的。（由于線性變換符號的字體不能單獨以花體字體區別，所以用形如“線性變換A”，表示線性變換用形如“矩陣A”，表示線性變換的矩陣）

23、前面知識應該提到的內容：一系列初等矩陣的乘積是非退化的，初等變換不改變矩陣的秩，初等變換是可逆的所以矩陣B的秩（1的個數），就是矩陣A的秩，就是n

24、因為可逆且不改變秩，所以討論矩陣B的情況，可以應用到矩陣A上。我們隨即看到，如果線性變換B（或者說矩陣B）的秩是n，則線性變換B就是對線性空間的前n個基做恒等映射（因為基向量組沒有秩序，我們取前n個不會有原則性的問題）后m-n個基做零變換，所構成的線性變換，線性變換B的特征多項式是(λ-1)^n

25、就可以快速找到n個線性無關的特征向量，這些特征向量直接取線性空間的前n個基就可以了。我們得到的結論是，線性變換B秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特征向量。因為一個特征向量只能屬于一個特征值，所以有多少個線性無關的特征向量，就有多少個特征值（不管你的特征值是不是一樣）這里有n個1，都是一樣的（從特征多項式也知道有n個重根）因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。

26、下面我們解釋重根為什么按重數計算，對矩陣B做初等行變換，第i行乘以數域P上的數k≠1（當然，如果k=1純屬脫褲子放屁），我們的特征多項式變為(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，其它初等變換相應類推。

27、借用學物理的思維，一個變換莫測的關系中，尋找守恒量是什么？這個是有意義的。而做這樣的非退化的線性變換變換，雖然特征值會隨之改變，但是守恒量是一定能找到n個線性無關的特征向量，其個數就是矩陣B（線性變換B）的秩是不變的。這樣我們就發現了守恒量，至于屬于不同特征向量的特征值是否相等，純屬巧合，無意義。有多少個碰巧相等的都無所謂，有多少個相等（相當于特征多項式的幾次方），就當然重復計算。

28、最后來一個問題的封閉，題目說的是方陣A

29、這個簡單，將矩陣B做一系列初等行變換，雖然特征多項式改變了，線性變換改變了，特征多項式也變了，但是我們發現的守恒量n，是不變的。

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。