中值定理證明題可以放棄嗎（中值定理）

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。中值定理證明題可以放棄嗎，中值定理很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、微分中值定理分為羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又（統）稱為微分學基本定理、有限改變量定理或有限增量定理，是微分學的基本定理之一，內容是說一段連續光滑曲線中必然有一點，它的斜率與整段曲線平均斜率相同（嚴格的數學表達參見下文）。

2、羅爾中值定理[編輯]

3、主條目：羅爾定理

4、羅爾定理的幾何意義

5、如果函數 滿足

6、在閉區間 上連續；

7、在開區間 內可導；

8、在區間端點處的函數值相等，即 ，

9、那么在內至少有一點，使得 。這個定理稱為羅爾定理。

10、拉格朗日中值定理及正式敘述[編輯]

11、主條目：拉格朗日中值定理

12、拉格朗日中值定理的幾何意義

13、令 為閉區間 上的一個連續函數, 且在開區間 內可導, 其中 那么在 上存在某個 使得

14、此定理稱為拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。

15、這個定理在一個更一般的條件下仍然成立。只需假設 在 連續, 那么在 內對任意 ，極限

16、存在，為一個有限數字或者等于+∞或?∞. 如果有限, 則極限等于 . 定理的這個版本的應用的一個例子由從 到 的實值三次方根函數映射給出 , 其導數在原點趨于無窮。

17、注意若一個可導函數是復變量的而不是實變量的，上面敘述的這個定理就不正確了。例如, 對全部實數 定義 。那么

18、當 時。

19、柯西中值定理[編輯]

20、柯西中值定理, 也叫拓展中值定理, 是中值定理的一般形式。它敘述為: 如果函數f和g都在閉區間[a,b]上連續, 且在開區間(a, b)上可導, 那么存在某個c ∈ (a,b), 使得

21、柯西定理的幾何意義

22、當然, 如果g(a) ≠ g(b)并且g′(c) ≠ 0, 這等價于:

23、在幾何上, 這表示曲線

24、的圖像存在平行于由(f(a),g(a))和(f(b),g(b))確定的直線的切線. 但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線, 因為可能存在一些 c值使f′(c) = g′(c) = 0, 換句話說取某個值時位于曲線的駐點; 在這些點似乎曲線根本沒有切線. 下面是這種情形的一個例子

25、在區間[?1,1]上，曲線由(?1,0)到(1,0), 卻并無一個水平切線; 然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t = 0時。

26、柯西中值定理可以用來證明洛必達法則. (拉格朗日)中值定理是柯西中值定理當g(t) = t時的特殊情況.

27、參考資料：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。