導數和微分的定義（微分的定義）

大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。導數和微分的定義，微分的定義很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

微分的概念

一,微分概念的引入

在實際測量中,由于受到儀器精度的限制,往往會產生誤差.例如x0為準確數,實際測量出是x*=x0+δx為x0的近似數,由此產生的誤差為δx相應產生的函數值的誤差δy=f(x0+δx)-f(x0),往往需要估計δy的值.如果f(x0+δx),f(x0)計算很復雜.因此計算δy也很麻煩或者實際中只知道近似數x*與誤差|δx|≤δ,又如何估計δy 

假設f′(x)存在,則

==f′(x0),有

=f′(x0)+α,α=0,于是

δy=f′(x0)δx+αδx,而=0 (1)即 αδx=0(δx)(δx→0)因此,當|δx|很小時,

δy≈f′(x0)δx

在實際中如果不知道x0,只知道x*,由x0,x*相差很小,則

δy≈f′(x*)δx,從而可以估計出δy.

從(1)式我們看到,f′(x0)相對δx是一個常數,αδx是δx的高階無窮小,如果δy=aδx+0(δx)(δx→0),則δy≈aδx,由此得到微分的概念.

二,微分的概念

定義 設y=f(x)在x0的某領域u(x0)內有定義,若

δy=f(x+δx)-f(x)可表示為

δy=aδx+o(δx) (δx→0)

其中a是寫δx無關的常數,aδx稱為δy的線性部.則稱y=f(x)在點x處可微,稱線性部aδx為y=f(x)在點x處的微分,記為dy,即dy=aδx.

三,可微與可導的關系

從概念的引入,我們可以看到可導必可微,反之也是正確的.因此有

定理 函數y=f(x)在點x可微的充要條件是函數y=f(x)在點x處可導.且a=f′(x).

證 充分性,由f(x)在點x處可導,有

=f′(x),于是

=f′(x)+α,其中α=0,有

δy=f′(x)δx+αδx,由=0,有αδx=o(δx)(δx→0)

所以

δy=f′(x)δx+o(δx) (δx→0)

因此,y=f(x)在點x處可微且f′(x)=a.

必要性 由y=f(x)在點x處可微,由定義知

δy=aδx+0(δx) (δx→0),a與δx無關.

由=[a+]=a=f′(x)

所以y=f(x)在點x處可導.

于是,若y=f(x)在點x處可微,則

dy=aδx,由a=f′(x),有

dy=f′(x)δx

由函數x在x處可微,則dx=(x)′δx=δx,即自變量的改變量等于自變量的微分,因此

dy=f′(x)dx等價于=f′(x)

由此可見,導數f′(x)等于函數y=f(x)的微分dy與自變量x的微分dx的商.因此,導數又稱為微商,這時不僅可以看成一個整體記號,也可以看成dy與dx的商. 

下面舉幾個例子,來說明微分的一些實際意義

圓面積s=πr2,其中r為圓半徑,則

圖2-6

δs=π(r+δr) 2-πr2=2πrδr+π(δr) 2

ds=2πrδr=2πrdr

當半徑有增量δr時,圓面積的增量δs,如圖中圓環表示,用微分ds近似它即以邊長為2πr(圓)環內圓長)高為圓環厚度dr的長方形面積來近似.如圖2-7

圖2-7

(2)圓柱體體積v=πr2h,其中r為圓柱體的底面半徑,h為圓柱的高

δv=π(r+δr) 2h-πr2h

=2πrhδhδr+πh(δr) 2

dv=2πrhδr=2πrhdr

圖2-8

當底面半徑有增量δr時,圓柱體的增量δv,如圖中空心圓柱表示,用微分dv近似,即底面長為2πr(內圓柱底面周長)寬為h(圓柱的高)高為圓柱厚度δr的長方體體積.如圖2-9

(3)球的體積v=πr3(其中r為地球半徑),當半徑有增量δr時,球體積的增量(即薄球殼的體積δv)

δv=π(r+δr)3-πr3

=π[r3+3r2δr+3rδr3-πr3]

=4πr2δr+(4rπδr+πδr2)δr

dv=4πr2δr

即薄球殼的體積δv用微分dv近似即以球殼內球面面積4πr2與厚dr的乘積來近似.

四,微分的幾何意義

若y=f(x)在點x處可微,則

δy=f′(x)δx+o(δx)=dy+o(δx)

圖2-9

及pt中曲線y=f(x)在曲線上點p(x,y)處的切線斜率tanα=f′(x)

δy=f(x+δx)-f(x)=nq

dy=f′(x)δx=tanα δx=nt

圖2-10

o(δx)=δy-dy=nq-nt=tq

由dy≈δy,即

nt≈nq,則

|pt|=≈=|pq|≈||

因此,當|δx|很小時,可用線段nt近似代替nq,或者說在p點鄰近,可用切線段pt近似代替曲線弧.

§2.2 微分的基本性質

一,微分基本公式

由dy=f(x)dx,將導數公式表中每個導數乘上自變量的微分dx,便得相應的微分公式(公式略,請讀者寫出來).

二,微分的四則運算

定理 設u(x),v(x)在點x處均可微,則

u±v,uv,cu(c為常數), (v≠0)在點x處都可微,且

1. d(u±v)=du±dv

2. d(uv)=vdu+udv特別d(cu)=cdu(c為常數)

3. d()= (v≠0),特別d()=- (v≠0)

注:微分的四則運算與導數的四則運算類似,只須把導數四則運算中的導數改成微分,就可得到微分的四則運算.

證3 d()=()′dx=dx

== (v≠0)

三,一階微分不變形

定理 若u=φ(x)在x處可微,y=f(u)在點u(u=φ(x))處可微,則復合函數

y=f(φ(x))在點x處可微,且

dy=f′(u)du

證:由復合函數的求導法則知,y=f(φ(x))在點x處可導,所以在點x處可微,且

dy[wb]=f′(φ(x))φ′(x)dx

=f′(φ(x))dφ′(x)

=f′(u)du

dy=f′(u)du,即這里u是中間變量,它與當x是自變量,y=f(x)在點x處可微,dy=f′(x)dx形式一樣.我們稱之為微分的一階不變性.

例1. y=e

解法一 由y′=ecos (x2+)·(2x+)

于是 dy=y′dx=ecos (x2+)(2x+)dx

解法2 利用微分的四則運算和微分一階不變性

dy=de=edsin(x2+)

=ecos (x2+)d(x2+)

=ecos (x2+)[d(x2)+d]

=ecos (x2+)[2xdx+dx]

=ecos(x2+)(2x+)dx

從這里也可得到y′=ecos (x2+)(2x+)

例2. 求由方程2y-x=(x-y) ln(x-y)所確定的函數y=y(x)的微分dy

解 對方程兩端求微分

d(2y-x)=ln (x-y)d(x-y)-(x-y)dln(x-y)得

2dy-dx=ln(x-y)(dx-dy)-(dx-dy)解出dy,有

dy=dx

例3. 利用微分求,

解:====y′

從這里可以看出,只要求ψ′(t),φ′(t)存在且φ′(t)≠0,存在

===dt

=

§2.3 近似計算與誤差估計

一,近似計算

若y=f(x)在點x0處可微,即

δy=f(x0+δx)-f(x0)≈f′(x0)δx+o(δx) (δx→0)

當|δx|很小時,有

δy≈f′(x0)δx (1)

即f(x0+δx))-f(x0)≈f′(x0)δx,則

f(x0+δx)≈f(x0)+f′(x0)δx (2)

(1)式為我們提供計算δy近似值的公式

(2)式為我們提供計算f(x0+δx)近似值的公式

特別x0=0有f(δx)≈f(0)+f′(0)δx

設δx=x,若|x|很小時,有

f(x)≈f(0)+f′(0)x,于是當|x|很小時

sin≈xtsx≈x,ln (1+x)≈x

ex≈1+x,(1+x)α≈1+αx (α≠0)

與我們前面講的等價無窮小量完全一致.

例4. 計算的近似值

解 設f(x)= f′(x)=x,f′(1)=

由=f(1.002)=f(1+0.002)

≈f(1)+f′(1)×0.002

=1=×0.002=1.00002

二,誤差估計

從微分概念的引入可知,應用微分來估計誤差,是非常方便迅速的.設x0為準確數,x*為近似的數,則x*-x0=δx稱為準確數x0的絕對誤差限,若存在正數δx,使|x*-x0|=|δx|≤δx,則稱δx為絕對誤差限.稱 (或)為準確數的相對誤差,而 (或)為相對誤差限.

若y=f(x),則

|δy|≈|dy|=|f′(x0)δx|≤|f′(x0)|δxδy

于是δy=|f′(x0)|δx或|f′(x*)|δx稱為y的絕對誤差限

=δx或δx稱為y的相對誤差限.

例5. 為了計算出球的體積精確到1%,問度量球的直徑d所允許的最大相對誤差是多少 

解 球的體積v= ()3=由

dv=dd,于是

==3由≤1%有

3≤1%,即≤%≈0.33%

§2.4* 高階微分

若y=f(x)在區間x上可微(x為自變量),則

dy=f′(x)dx

這里dy不僅與x有關,與dx=δx也有關,而δx是與x無關的一個量.我現在是研究dy與x之間的關系.因此,在這里δx相對于x來說是個常數,所以dy是x的函數,如果dy又可微即f〃(x)存在,則d(dy)=d(f′(x)dx)=d(f′(x))dx=f〃(x)dxdx=f〃(x)dx2稱為f(x)的二階微分,記作d2y,即

d2y=f〃(x)dx2

一般地若dn-1y=f(n-1)(x)dxn-1可微,即f(n)(x)存在

則d(dn-1y)=d(f(n-1) (x)dxn-1)=d(f(n-1)(x))dxn-1

=f(n)(x)dx·dxn-1=f(n)(x)dxn稱為f(x)的n階微分,記作dny,即dny=f(n)(x)dxn則

=f(n)(x) (x為自變量)

因此f(n)(x)可看成dny與dxn的商,又稱n階微商.

我們知道不論u是中間變量,還是自變量,f′(u)存在(若u是中間變量,u′(x)存在)都有一階微分不變性.

dy=f′(u)du

二階有沒有微分不變性呢,若x是自變量,f〃(x)存在,則

d2y=f〃(x)dx2

若y=f(u),u=φ(x)且f〃(u),φ〃都存在

由 dy=f′(u)du,于是

d2y=d(dy)=d(f′(u)du)=du·df′(u)+f′(u)d(du)

=f〃(u)du du+f′(u)d2u

=f〃(u)du2+f′(u)d2u

由 du=dφ(x)=φ′(x)dx

d2u=φ〃(x)dx2,一般情況下d2u 0

同樣 f′(u)d2u0

因此,不具有二階微 不變性,因此n>1,不具有微不變性,若u是中間變量

=f(n)(u),僅表示對u的n階導數.

但只能看成一個整體符號,不能看成商

注:d(x2),dx2,d2x的區別

d(x2)=2xdx,dx2=(dx)2

d2x=d(dx) 0

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。