• 您現在的位置是:首頁 >精選問答 > 2023-08-23 03:00:19 來源:

    韋達定理詳細講解(維達定理)

    導讀 大家好,我是小夏,我來為大家解答以上問題。韋達定理詳細講解,維達定理很多人還不知道,現在讓我們一起來看看吧!1、韋達定理 法國數學...

    大家好,我是小夏,我來為大家解答以上問題。韋達定理詳細講解,維達定理很多人還不知道,現在讓我們一起來看看吧!

    1、韋達定理 法國數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間有這種關系,因此,人們把這個關系稱為韋達定理。

    2、歷史是有趣的,韋達的16世紀就得出這個定理,證明這個定理要依靠代數基本定理,而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。

    3、 由代數基本定理可推得:任何一元 n 次方程 在復數集中必有根。

    4、因此,該方程的左端可以在復數范圍內分解成一次因式的乘積: 其中是該方程的個根。

    5、兩端比較系數即得韋達定理。

    6、 韋達定理 AX2+BX+C=0 X1和X2為方程的兩個跟 則X1+X2=-B/A X1*X2=C/A 韋達定理應用中的一個技巧 在解有關一元二次方程整數根問題時,若將韋達定理與分解式αβ±(α+β)+1=(α±1)(β±1)結合起來,往往解法新穎、巧妙、別具一格.例說如下. 例1 已知p+q=198,求方程x2+px+q=0的整數根. (’94祖沖之杯數學邀請賽試題) 解:設方程的兩整數根為xx2,不妨設x1≤x2.由韋達定理,得 x1+x2=-p,x1x2=q. 于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198, 即x1x2-x1-x2+1=199. ∴(x1-1)(x2-1)=199. 注意到x1-x2-1均為整數, 解得x1=2,x2=200;x1=-198,x2=0. 例2 已知關于x的方程x2-(12-m)x+m-1=0的兩個根都是正整數,求m的值. 解:設方程的兩個正整數根為xx2,且不妨設x1≤x2.由韋達定理得 x1+x2=12-m,x1x2=m-1. 于是x1x2+x1+x2=11, 即(x1+1)(x2+1)=12. ∵xx2為正整數, 解得x1=1,x2=5;x1=2,x2=3. 故有m=6或7. 例3 求實數k,使得方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整數. 解:若k=0,得x=1,即k=0符合要求. 若k≠0,設二次方程的兩個整數根為xx2,由韋達定理得 ∴x1x2-x1-x2=2, (x1-1)(x2-1)=3. 因為x1-x2-1均為整數,所以 例4 已知二次函數y=-x2+px+q的圖像與x軸交于(α,0)、(β,0)兩點,且α>1>β,求證:p+q>1. (97四川省初中數學競賽試題) 證明:由題意,可知方程-x2+px+q=0的兩根為α、β.由韋達定理得 α+β=p,αβ=-q. 于是p+q=α+β-αβ,=-(αβ-α-β+1)+1 =-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β). 比較全了吧。

    本文到此講解完畢了,希望對大家有幫助。

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