冪函數單調性（冪函數公式）

大家好，我是小華，我來為大家解答以上問題。冪函數單調性，冪函數公式很多人還不知道，現在讓我們一起來看看吧！

1、冪函數的一般形式為y=x^a。

2、 　　如果a取非零的有理數是比較容易理解的，不過初學者對于a取無理數，則不太容易理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數為無理數的問題，因為這涉及到實數連續統的極為深刻的知識。

3、因此我們只要接受它作為一個已知事實即可。

4、 　　對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性： 　　首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分數（即p、q互質），q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0,＋∞）。

5、當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道： 　　排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數； 　　排除了為0這種可能，即對于x<0或x>0的所有實數，q不能是偶數； 　　排除了為負數這種可能，即對于x為大于或等于0的所有實數，a就不能是負數。

6、 　　總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下： 　　如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數； 　　如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0 的所有實數。

7、 　　在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。

8、 　　在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

9、 　　而只有a為正數，0才進入函數的值域。

10、 　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的， 　　必須指出的是，當x<0時，冪函數存在一個相當棘手的內在矛盾：[x^(a/b)]^(c/d)、[x^(c/d)]^(a/b)、x^(ac/bd)這三者相等嗎？若p/q是ac/bd的既約分數，x^(ac/bd)與x^(p/q)以及x^(kp/kq)（k為正整數）又能相等嗎？也就是說，在x<0時，冪函數值的唯一性與冪指數的運算法則發生不可調和的沖突。

11、對此，現在有兩種觀點：一種堅持通過約定既約分數來處理這一矛盾，能很好解決冪函數值的唯一性問題，但米指數的運算法則較難維系；另一種觀點則認為，直接取消x<0這種情況，即規定冪函數的定義域為[0，+∞）或（0，+∞）。

12、看來這一問題有待專家學者們認真討論后予以解決。

13、 　　因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況. 　　可以看到： 　　（1）所有的圖形都通過（1，1）這點。

14、 　　（2）當a大于0時，冪函數為單調遞增的，而a小于0時，冪函數為單調遞減函數。

15、 　　（3）當a大于1時，冪函數圖形下凹；當a小于1大于0時，冪函數圖形上凸。

16、 　　（4）當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

17、 　　（5）a大于0，函數過（0，0）；a小于0，函數不過（0，0）點。

18、 　　（6）顯然冪函數無界限。

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。